вторник, 1 мая 2012 г.

ТАЙНЫ И ИХ ПРАКТИЧЕСКОЕ ВОПЛОЩЕНИЕ

Тайны многоугольников

 Немецкий математик, астроном и физик Карл Гаусс (1777–1855), считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». Ещё в 19 лет Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма (3, 5, 17, 257, 65537), то его можно построить при помощи циркуля и линейки. Столь замечательное открытие произвело на юного Гаусса такое впечатление, что он сразу отказался от филологической карьеры, и решил посвятить свою жизнь математике. Гаусс и позднее смотрел на это первое из своих открытий с особенной гордостью. После смерти Гаусса в Гёттингене была воздвигнута его бронзовая статуя, с пьедесталом в форме правильного 17-угольника (который впервые смог построить сам Гаусс).

Из открытия Гаусса следует, что правильный многоугольник можно построить при помощи циркуля и линейки (это очень важные слова и об этом ещё будет сказано ниже), если число его сторон (G) выражается следующей формулой (теорема Гаусса – Ванцеля):

                                            G = (2n)(3a)(5b)(17c)(257d)(65537f),    (1)
                                  
где n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,… – показатель степени (любое натуральное число),  а показатели степени a, b, c, d, f – принимают значения 1 или 0, при этом 1 – «включает» соответствующее простое число Ферма в формуле (1), а 0 – его «включает», поскольку любое число в степени 0 всегда равно единице (такое правило принято в математике). Поскольку показатель степени nможет быть бесконечно большим (натуральным) числом, то и количество сторон у правильного многоугольника неограниченно велико (число G может быть бесконечно большим). Например, формула (1) «разрешает» указанное построение правильного 51-угольника, поскольку мы можем записать:  G = (2^0)(3^1)(5^0)(17^1)(257^0)(65537^0) = 1*3*1*17*1*1 = 51. А вот, например, указанное построение правильного 7-угольника, формула (1) «запрещает», то есть не при каких (из указанных выше) значениях n, a, b, c, d, f – формула (1) не выдаст нам G = 7. Занятно, что в Википедии в статье «Правильный многоугольник», рассказывающей в основном именно о теореме Гаусса – Ванцеля, приведен единственный рисунок и на нём изображен правильный… семиугольник.


Однако, повторяю, что правильный семиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки. Указанные построения – это особый раздел евклидовой геометрии (известный с античных времён), в которых циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности: линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины, а циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор (и такая идеализация инструментов весьма существенна с точки зрения математики – предельно строгой в своих рассуждениях науки). Так вот, правильный семиугольник все же можно построить, но только с помощью циркуля и невсиса, то есть размеченной линейки, на которой можно делать отметки и с помощью которой можно проводить прямые, проходящие через какую-нибудь точку, причём отмеченные на линейке точки будут принадлежать данным линиям (прямым или окружностям). Из формулы (1) ясно следует, что многоугольникиГаусса – Ванцеля, (ещё раз) построенные с помощью циркуля и линейки, могут иметь лишь следующее число сторон: G = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, и т.д. (до бесконечности).



Из формулы (1) при n = 0 (когда 2^n = 2^0 = 1) мы получаем 32 всевозможных сочетания степенных показателей a, b, c, d, f, то есть 32 – это результат размышлений над чисто комбинаторной задачей. Ниже приведен «графический образ» решения данной задачи – выписаны первые 16 сочетаний показателей a, b, c, d, f (их значений соответственно), а если в первой колонке заменить все 0 на 1, то мы получим и последующие 16 сочетаний. Это позволяет легко вычислить первые 32 значения параметра G.

00000
00001
00010
00011
00100
00101
00110
00111
01000
01001
01010
01011
01100
01101
01110
01111
Найденные таким образом 32 сочетания (числовых значений a, b, c, d, f), после подстановки их в формулу (1), дают нам 32, скажем, базовых, значения G(после их сортировки по возрастанию): 1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295. Здесь также уместно заметить, что число 32 не только в (виртуальном) мире натуральных чисел, но и в реальной природе также обладает некой «магией», и вот тому «доказательства»: 32 варианта расположения атомов вокруг узла решетки (см. кристаллографию); почти 32 скопления галактик в крупнейшем из сверхскоплений (галактик); 32 зуба у человека; 33–34 позвонка в позвоночнике человека; (26 костей в стопе ноги и 27 костей в кисти руки человека); 32 краски на палитре художника (это разумный максимум цветов); до 33 основных языков насчитывается на нашей планете; до 33 букв содержат большинство алфавитов на планете; 33 термина указывают темп в музыке; 33 значимых религии на планете; 33 года – «возраст Христа» (расцвет человека); 39 спутников у Юпитера (это максимум в Солнечной системе); 46 хромосом в структуре ДНК; и т.д. (см. в Википедии статью «32 (число)», сами дополните список подобных примеров «магии» числа 32).
Всё остальное (бесконечное!) множество «разрешенных» значений Gмы получаем путем умножения 32 базовых значений на число 2^1 = 2, на число 2^2 = 4, на число 2^3 = 8, на число 2^4 = 16, и т.д. – именно так мы и получаем все возможные количества сторон (G) по формуле (1). При этом встает вопрос о том, каким значением Gимеет смысл ограничиться (в наших исследования)? В рамках виртуальной космологии ответ будет следующим. Радиус видимой нами Вселенной можно принять равным R = 8*10^60 планковских длин (планковскую длину квант света проходят за планковское время), значит, длина (гипотетической) наибольшей окружности во Вселенной будет порядка 2*ПИ*R = 2*3,14*R = 5*10^61 планковских длин. Поэтому в первом приближении можно полагать, что всю нашу Вселенную может «охватить» правильный многоугольник, у которого число сторон порядка G = 5*10^61, поскольку сторона любого мыслимого  многоугольника, очевидно, не может быть меньше планковской длины – этот запрет накладывает современная нам теоретическая физика. Если все возможные многоугольники Гаусса – Ванцеля, «генерируемые» формулой (1), отсортировать по возрастанию параметра G, то мы получим «всего лишь» 6060 многоугольников (не так уж и много по сравнению с колоссальным числом 5*10^61), у наибольшего из которых число сторон будет равно G = (2^177)(3^1)(5^1)(17^0)(257^1)(65537^1) = 4,8*10^61 (разумеется, что это округленное значение G). Следующим будет 6061-й многоугольник с числом сторон G = (2^197)(3^1)(5^1)(17^1)(257^0)(65537^0) = 5,1*10^61. При этом можно озадачиться следующим вопросом: число 6060 (или более осторожно – около 6000) также обладает некой «магией» в реальной природе?

Сколько многоугольников Гаусса – Ванцеля, то есть «генерируемых» формулой (1), находится между значениями от G = 10 (B–1) (включительно) до G = 10B? Ответ на этот вопрос довольно интересен и по-своему красив. При В = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, 61, 62 речь идет о следующих интервалах значений: от G = 10^0 до G = 10^1; от G = 101 до G = 102;  от G = 102 до G = 103; …; от G = 1061 до G = 1062. Показатель степени В можно также понимать в качестве номера соответствующего интервала. Здесь выявляются следующие закономерности. Первые 9 интервалов (при В = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) содержат следующее количество (К) многоугольников Гаусса – Ванцеля (количество значений параметра G в каждом из этих первых 9-ти интервалов): К = 7, 19, 28, 41, 52, 61, 74, 83, 93. То есть в интервале от G = 1 до G = 10 есть 7 многоугольников; в интервале от G = 10 до G = 100 есть 19 многоугольников; в интервале от G = 100 до G = 1000 есть 28 многоугольников; … ; в интервале от G = 100.000.000 до G = 1.000.000.000 есть 93 многоугольника Гаусса-Ванцеля. Указанный рост параметра К можно довольно точно описать линейной функцией (линией тренда, полученной с помощью программы “Excel”):

К = 10,8*В – 3,1111.                     (2)

Важное замечание. В первом интервале (при В = 1, где Gрастет  от 1 до 10) первые многоугольники Гаусса-Ванцеля – это многоугольники с числом сторон… G = 1 и G = 2. «Сходу» нельзя ни представить, ни объяснить столь «экзотические» многоугольники (с одной и двумя сторонами!), тем не менее, формула (1) их «выдает», поэтому будем с этим считаться, но пока не будем задавать вполне законный вопрос – а что бы это значило (G = 1 и G = 2)? Попробуйте сами пофантазировать на этот счёт.


 В последующих 52-х интервалах (при В = 10, 11, 12, 13, …, 60, 61) мы будем получать (на первый взгляд – число случайным образом?) значения исключительно из следующего ряда: К = 104, 106, 108, 110, 112. Для указанных 52-х значений К линию тренда можно описать такой формулой:
К = 106,61 – ПТС*В,              (3)

где ПТС = 0,00729735308 – постоянная тонкой структуры (она примерно равную числу 1/137). ПТС – самая загадочная (и безразмерная) фундаментальная физическая константа. Ричард Фейнман (1918-1988), выдающийся американский физик-теоретик, один из «отцов» квантовой электродинамики (объясняющей фундаментальные основы мироздания), лауреат Нобелевской премии по физике (1965 г), как-то назвал постоянную тонкой структуры – «одной из величайших проклятых тайн физики: магическое число, которое приходит к нам без какого-либо понимания его человеком...». Ещё можно добавить, линия тренда (3) проходит чуть выше точки К = 106 и это единственное именно такое значение К (при В = 36) среди указанных 52-х значений К. При В = 60 и В = 61 имеем К = 108, а вот уже при В = 62 – мы получим К = 104.
Если ввести обозначения: Z= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … – порядковый номер многоугольника Гаусса-Ванцеля (после сортировки их всех по возрастанию параметра G), то тогда для параметра Gможно записать следующие приближенные формулы (законы роста G):

при Z = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, 500 получаем:  G = exp(0,955*Z^0,5),                                         (4)

при Z = 501, 502, 503, …, 31000 получаем:  G = 45890*exp(0,02166085*Z).                          (5)

Эти формулы также подтверждают, что в начале (при Z = 1, 2, 3, …, 500) происходит, вообще говоря, довольно бурный рост параметра G(он увеличивается почти на 9 порядков), и этот рост в 2–3 раза быстрее, чем по «классической» экспоненте, каковой является в частности и формула (5). После столь бурного роста (условно говоря, после Z = 500 и G = 2.155.905.152) параметр Gрастет, вообще говоря (то есть в среднем), близко к экспоненте (5). При этом у 94% всех значений, полученных по формуле (5) (при указанных Z) модуль относительной погрешности Gне превысит 9,4%. И вполне возможно, что указанный (близкий к нему) экспоненциальный рост G происходит при бесконечном увеличении порядкового номера Z. Так, например, 32272-й многоугольник Гаусса-Ванцеля (при Z = 32272) содержит порядка G = 1,78*10^308 сторон – такой многоугольник-монстр даже и не пытайтесь представить в своём воображении…

В заключение привожу главный вопрос виртуальной космологии в части многоугольников Гаусса-Ванцеля – эти многоугольники (математические закономерности, описывающие их) имеют отношение к реальному (физическому) миру? Сам я на данный вопрос, как всегда, отвечаю утвердительно, хотя данная статья (тоже как обычно) не содержит очевидных доказательств…



Александр Исаев
___________________________
__________________________________________________________

Комментариев нет:

Отправить комментарий